前缀和的应用：从一道网易笔试题说起

TIPS：本文共有 3700 个字，阅读大概需要 8 分钟。

本文将围绕“前缀和的应用”展开讨论，并以一道网易笔试题为例进行详细解析。前缀和是一种常用的算法技巧，在数组和链表等数据结构上有着广泛的应用。通过对前缀和的理解和运用，可以优化问题的解决方案，提高算法的效率。在本文中，我们将通过具体的案例和实际的代码演示，探讨前缀和在问题求解中的具体应用和实现方式。同时，我们还将以一道网易笔试题为例，引出前缀和的应用场景，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的算法技巧。

作者：帅地

来源：苦逼的码农

8月3号参加了网易提前批的笔试，笔试时间 120 分钟，然后有 10 道选择题（20分）， 4 道编程题（80分）， 2 道主观题（20分）。可以说你编程题凉了那就基本凉了，其他做的再好也没有用的了。所以时刻保持刷题还是很有必要。

这次网易的笔试题还是挺难，四道题都用到了不同的思想，可能你看了题目，然后看了别人的解析会感觉，咦，挺简单的，但是身处考场可能就完全不一样了，基本每道题给你的时间只有 20 分钟，而且还要我们自己处理输入、输出，由于平时大家刷 Leetcode 的时候都是自己给出个方法就可以了，无需考虑输入、输出，所以有些人对输入输出不是很熟悉，调试花了不少时间，所以我这里建议你一定要把标准输入、输出弄熟悉。

今天我要将的这道题是网易 8 月 3 号研发岗笔试的第一题，也是四道题中最简单的一道。这道题涉及到前缀和的应用，所以我想借这道题给大家讲一讲前缀和相关的一些知识，以后大家遇到这道题，就可以快速秒杀了。

问题描述

下面我描述下这道题，不过我给的描述是简化版的，实际上再做笔试题的时候，每道题的描述都巨长，一般都会根据实际场景来给出问题的，有些人可能阅读了十几分钟，然后不知道自己要干嘛，我这里给出最简化的版本。

有一个班级有 n 个人，给出 n 个元素，第 i 个元素代表第 i 位同学的考试成绩，接下来进行 m 次询问，每次询问给出一个数值 t ，表示第 t 个同学，然后需要我们输出第 t 个同学的成绩超过班级百分之几的人，百分数 p 可以这样算：p = (不超过第 t 个同学分数的人数 ) / n * 100%。输出的时候保留到小数点后 6 位，并且需要四舍五入。
输入描述：第一行输入两个数 n 和 m，两个数以空格隔开，表示 n 个同学和 m 次询问。第二行输入 n 个数值 ni，表示每个同学的分数，第三行输入 m 个数值mi，表示每次询问是询问第几个同学。（注意，这里 2<=n，m<=100000，0<=ni<=150，1<=mi<=n）
输出描述：输出 m 行，每一行输出一个百分数 p，代表超过班级百分之几的人。
示例1：
输入：
3 2
50 60 70
1 2
输出
33.333333%
66.666667%

第一题大致是这样，不过不是和原题完全一样哈，在输入和输出有小许区别，因为具体的输入输出我忘了。我这个描述说简化好像也挺长，不过原题就更加长了。

解答

那么这道题难吗？说实话不难，不过你可以先自己再脑子里想想怎么做比较好，或许在考场上 20 分钟你还真不一定做的出来。

有些人说，这还不简单，每次询问的时候，我都遍历一下所有人的成绩，这样的花时间复杂度是 O(n * m)，显然，如果你这样做，那么是一定通不过的，一定会超时。一般暴力法能够通过 20% ~ 30% 的测试用力，如果一道题 20 分的话，能拿到 4~6 分。如果你实在没思路，那么暴力也是个不错的选择。

1、二分法

这道题我是用二分法做的，就是先对所有人的成绩进行排序，不过排序的时候我们需要开一个新的数组来存储。然后每次查询的时候可以通过二分查找进行匹配，由于用到了排序，需要花 O(nlogn) 的时间，m 次查询花的时间大致为 O(mlogn)。所以平均时间复杂度可以算是 O((m+n)logn)。这个时间复杂度通过所有测试用例，代码如下(没学过java的也能看懂)：

publicclassMain{//主函数，相当于c语言的main方法publicstaticvoidmain(String[]args){Scannerin=newScanner(System.in);intm=in.nextInt();intn=in.nextInt();//存放成绩的数组int[]a=newint[n];//存放排序过后的成绩int[]b=newint[n];//输入n个人的成绩for(inti=0;i<n;i++){a[i]=in.nextInt();b[i]=a[i];}//排序Arrays.sort(b);//进行查询for(intj=0;j<m;j++){//输入是要查询第几个同学intt=in.nextInt();//把这个同学的分数拿出来intfen=a[t-1];//通过二分查找是排在第几位intsum=binarySearch(b,fen)-1;doublet=sum*1.0/n*100;System.out.printf("%.6f\n",t);}}privatestaticintbinarySearch(int[]b,intfen){intl=0;intr=b.length-1;while(l<=r){intmid=l+(r-l)/2;if(b[mid]>fen){r--;}elseif(b[mid]<fen){l++;}else{//由于存在分数相同的人，所以还要往后查找while(mid<b.length&&b[mid]==fen){mid++;}returnmid;}}return0;}}

这里说明一下，输出的时候我没有输出"%"号哈。

前缀和

不过这道题更好的做法是采用前缀和来做。题设中每个同学的分数不超过 150，不小于 0，那么我们可以用一个数组 arr，然后让 arr[i] 表示分数不超过 i 的人数。通过这种方式，我们可以把时间复杂度控制在 O(n+m)。直接看代码吧，会更好理解（这里我就不写输入的代码了，用a[]存放成绩，m[]存放m次询问）：

voidf(inta[],intm[]){intn=a.length;int[]arr=newint[151];//先统计分数为i的有多少人for(inti=0;i<n;i++){arr[a[i]]++;}//接着构造前缀和for(inti=1;i<151;i++){arr[i]=arr[i]+arr[i-1];}//进行m次询问for(inti=0;i<m.length;i++){//取出成绩intscore=a[m[i]-1];//有多少人的成绩不超过score的intsum=arr[score];System.out.printf("%.6f\n",sum*1.0/n*100);}}

这种方法就叫做前缀和，用这种方法简单了很多。当然前缀和还有其他应用，例如：

如果给你一个数组 arr[]，然后进行 m 次询问，每次询问输入两个数 i，j（i <= j）。要求你输出 arr[i] ~ arr[j] 这个区间的和。这个时候就可以使用前缀和的方式了。前缀和的构造也是很好构造的，例如 arr[] 变成前缀和的构造方式如下

for(inti=1;i<arr.length;i++){arr[i]=arr[i]+arr[i-1];}

前缀和看起来还是挺简单的，不过在做题中，或许会有意想不到的作用，例如这次的笔试，所以今天给大家讲解一下。

最后我再问你一个和前缀和类似的问题，给你一串长度为n的数列a1,a2,a3……an，要求对a[i]~a[j]进行m次操作：

操作一：将a[i]~a[j]内的元素都加上P

操作二：将a[i]~a[j]内的元素都减去P

最后再给出一个询问求a[i]-a[j]内的元素之和。

这个你会怎么做呢？这个时候就涉及到差分的知识了，不过它和前缀和类似，感兴趣的可以研究一下。

最后

这里关于笔试题有几点建议，由于笔试题大多数都需要我们处理输入输出，而像 leetcode，剑指 offer 都是不需要我们处理这些的，所以会不熟悉，所以我建议可以去刷下往年的真题熟悉一下。

还有就是大部分都是可以直接暴力的，然后能拿 20%~30%的分数，想了十分钟还是没好的思路的，建议直接暴力。