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信赖域算法是一种用于求解无约束的非线性最小二乘问题的优化算法。该算法通过在当前估计的解附近构建一个信赖域来进行搜索，在信赖域内使用不同的子问题求解策略来寻找最优解。通过动态调整信赖域的大小和采用合适的子问题模型，该算法能够有效地收敛到最优解并且保证收敛性和全局最优性。在现代科学和工程中，许多问题可以被建模为非线性最小二乘问题，因此利用信赖域算法求解此类问题具有重要的应用意义。
在上一篇博客中，自己介绍了Levenberg_Marquardt的算法流程，特点以及在非线性最小二乘问题上的应用，信赖域算法也是自己曾经研究过的算法，并且在姿态估计上进行了应用，比较下来，得到的精度和Levenberg_Marquardt算法不相上下，但是收敛速度却不如LM。本文介绍一下自己对信赖域算法的理解，与童鞋们分享一下。
相信做过机器学习的童鞋，一定使用过搜索算法，例如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，BFGS算法，LM算法等，这些算法有一个共同的特点，它们的基本策略，也就是所谓的算法思想，都是“定方向，定步长”，不知道我这么概括准确不准确，比如说经典到骨子里的梯度下降，先选择梯度相反方向作为搜索方向，然后要么一维搜索，要么索性定个步长公式，沿着既定方向根据步长确定变量更新值，无一例外。然而，半路杀出了个程咬金，信赖域算法却不是这样干的，人家采用的方法是“定区域，定极值”的方法，来达到同样的目的。牛逼吧？我替你回答， 是的。这个毁三观的行为，造就了有趣的信赖域算法。
信赖域算法是在一个球形区域内进行搜索，具体说来，先定好一个球形区域，然后在这个球形区域的中心点进行二阶泰勒近似（和LM是不是很像？LM是一阶泰勒近似），如公式（1）所示，这个近似美其名曰“子问题”，由于二阶泰勒近似其实就是一个二次规划问题，可以直接求取极值，得到了子问题的最优解之后，下一步就要考察这个最优解（也就是参数变化量d）是否能够使得“原问题”不断的下降，这里，引入了一个比较巧妙的度量方式，用于度量函数值实际下降量和预测下降量之间的比值，如公式（2）所示，如果这个比值大于一定的数值，说明参数变化量d是正确的，进一步，调整球形的半径r，否则，就要摒弃这个d，减小半径r，重新搜索。精髓一句话，每一步迭代都会转化为子问题来处理，不断地更新参数，最终得到收敛解。
（1）
（2）
正如上一篇博客一样，担心大家听不懂我在说什么，我还是画个算法流程图，如下所示：
同样也附上算法代码，这里我还是用信赖域算法，去解决任何一个非线性最小二乘问题，输入变量的含义均已进行注释。
下一篇博客，我会比较LM与信赖域算法之间对于同一问题的处理速度和算法精度，我觉得这两个算法有必要好好的比较一下。
如果有bug或error，还请多多指教啊！小弟嗷嗷感激！！
[plain]
%%信赖域算法
function[x,iter]=Trust_Region(f,var,x0,r0,miu,yita,eps)
%目标函数:f
%自变量向量：var
%初始点：x0
%初始信赖域半径：r0
%初始参数：miu
%初始参数：yita
%精度：eps
%目标函数取最小值的自变量值：x
%迭代次数：iter
tol=1;
r=r0;
x=x0;
%迭代次数
iter=1;
whiletol>eps
jacf=jacobian(f,var);%雅可比矩阵
hessen=jacobian(jacf,var);%赫森矩阵
%计算目标函数值
fx=double(subs(f,var,x));
%计算雅克比矩阵值
v=subs(jacf,var,x);
%计算赫森矩阵值
pv=subs(hessen,var,x);
tol=double(norm(v));
M_2=double(pv);%二次规划中的二次项矩阵
M_1=double(transpose(v));%二次规划中的一次项矩阵
lb=-r*ones(length(var),1);%r为信赖域半径，自变量下界约束
ub=r*ones(length(var),1);%自变量上界约束
%求解二次规划
[y,fy,EXITFLAG]=quadprog(M_2,M_1,[],[],[],[],lb,ub);
%重新计算目标函数值
fx_n=double(subs(f,var,x+y));
%计算目标函数实际下降与预测下降之比
p=(fx-fx_n)/(-fy);
ifp<=miu%目标函数实际下降不明显
r=0.5*r;
else%目标函数值下降明显
x=x+y;%更新参数,扩大信赖域半径
ifp>=yita%如果p>yita
r=2*r;
end
end
iter=iter+1;
end
end
感慨一下，matlab具有强大的符号计算能力，实在是太方便了，总有人说matlab不能算是编程语言，我是超级不同意的，matlab是一门强大的编程语言好不好。尤其是在算法方面。
小编关于《信赖域算法在无约束非线性最小二乘问题中的应用》就分享到这儿了，如果内容对你有帮助，记得点赞加收藏哦！
